La parabola

Prof.ssa Campana | Sembra che lo studio delle coniche abbia avuto inizio durante il IV secolo a.C. con Menecmo, un importante matematico greco allievo di Platone.  Con Apollonio di Perga (262-190 a.C.), un greco conosciuto come il Grande Geometra, si ha la prima trattazione razionale delle coniche con un opera intitolata Le Coniche, di cui ci rimangono 7 degli 8 tomi scritti originariamente. Fu anche il primo ad attribuire alle diverse figure i nomi parabola, ellissi ed iperbole ( i nomi traggono origine dal confronto di due grandezze di ciascuna curva, infatti significano rispettivamente mancanza, mettere accanto e andare oltre). Apollonio dimostrò che era possibile ottenere tutti e tre i tipi di conica da uno stesso cono cambiando semplicemente l’inclinazione del piano d’intersezione e dedusse successivamente che non serviva che il cono fosse retto (con l’asse perpendicolare alla base), ma che poteva essere anche obliquo. Tuttavia lo studio delle coniche venne ben presto abbandonato a causa del loro scarso impiego pratico. Queste figure geometriche rinacquero durante il rinascimento e il periodo barocco grazie al loro frequente utilizzo nei vari campi riguardanti l’arte. Durante il barocco le ellissi compaiono negli archi, come durante il rinascimento accade per la parabole che spesso furono usate anche da pittori, oltre che da architetti. Successivamente, durante il XV secolo, un celebre astronomo di nome Keplero prenderà spunto dalle scoperte di Apollonio per formulare tre leggi sul moto dei pianeti; formulò per le coniche un principio di continuità secondo il quale i diversi tipi di sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti. Keplero sostiene l’'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio, cioè all'infinito, è dovuta a Keplero, così come il termine fuoco (dal latino focus, focolare, derivante dalla proprietà fisica già nota ad Archimede, che, sembra, la utilizzò contro le navi romane che assediavano Siracusa, per cui uno specchio parabolico concentra i raggi paralleli provenienti dal sole in un punto che è il fuoco geometrico). A Galileo si deve la dimostrazione, secondo cui il moto di un proiettile è una parabola. Inoltre le parabole trovarono importanti applicazioni nel campo dei fenomeni ondulatori come il suono. Per la legge della riflessione della luce, un paraboloide rotondo ( una superficie ottenibile facendo ruotare di un giro completo una parabola attorno al proprio asse) presenta particolari proprietà che gli permettono di essere utilizzato come potente telescopio, come riflettore o come antenna per le comunicazioni spaziali. L’uso delle coniche in ambito non strettamente matematico riportò molti studiosi a riprenderne lo studio, soprattutto durante il XVII secolo. Le coniche d’ora in avanti vennero viste proiezione del cerchio su di un altro piano. Solo 1800 anni più tardi, grazie all’introduzione del piano cartesiano ad opera dello stesso Cartesio, si riprenderanno i risultati raggiunti da Apollonio. Infatti questi nuovi metodi basati sulle coordinate cartesiane permettevano di risolvere problemi assai più complicati di quelli precedenti. Cartesio derivò in una delle sue opere (Geometrie) l’equazione generica di una conica passante per l’origine degli assi; inoltre arrivò a determinare quali condizioni l’equazione dovesse soddisfare per essere una retta, una parabola o un ellissi. Successivamente Fermat dimostrò che tale equazione era un’equazione di secondo grado in X e in Y. Le coniche, che sono uno degli argomenti più antichi e vasti della matematica, hanno sempre suscitato domande, le cui risposte hanno permesso grandi progressi a questa stessa scienza e ad altri campi in cui vengono tutt’ora utilizzate come l’architettura. Per la parabola, in particolare, la più semplice e usata definizione è:  luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta d, detta direttrice, e da un punto fisso F, detto fuoco. Si tratta di una figura piana e, come l’ellisse e l’iperbole, è una sezione conica.

La parabola ha quattro elementi caratteristici:

  • la direttrice della parabola, la retta che rispetto al fuoco mantiene la stessa distanza per ogni punto della parabola stessa;
  • il fuoco della parabola, il punto che rispetto alla direttrice mantiene la stessa distanza da ogni punto della parabola;
  • il vertice della parabola, il punto in cui la parabola si interseca con l’asse di simmetria;
  • l’asse di simmetria della parabola, la retta che divide in due parti uguali la parabola.
Vi consiglio di guardare questo bel video sul tema.