Funzione di trasferimento di un RC

A. Costantini | (la videolezione) Determiniamo, a titolo di esempio, la funzione di trasferimento di un banale circuito RC (resistenza e condensatore). Immaginiamo di considerare come ingresso la tensione Vi del circuito e come uscita la tensione sui terminali del condensatore. Sappiamo che la funzione di trasferimento “G(s)” è definita come rapporto tra l'uscita e l'ingresso di un sistema, nel dominio di Laplace. Applicando le leggi dell’elettrotecnica, vediamo com’è possibile ricavare la funzione di trasferimento di questo banale circuito.  Osserviamo che, conoscendo la corrente, è possibile determinare la tensione di uscita Vo con la legge di Ohm:

Vo = Z2 I

Dove Z2 è l'impedenza del condensatore nel dominio di Laplace. Ricordiamo che l’impedenza del condensatore nel dominio di Laplace si scrive come:

Z2 = 1 / sC

mentre l'impedenza della resistore Z1 coincide con resistenza R. In sostanza, volendo determinare la tensione di uscita (Vo), occorrerà moltiplicare l'impedenza Z2 per la corrente. (legge di Ohm nel dominio di Laplace). Sostituendo in Z2 l’espressione di sopra otteniamo:

Vo = I /sC

Per ricavare la funzione di trasferimento, ora, c’è bisogno di far “comparire” la Vi in questa espressione. Per far questo, è possibile calcolare la corrente e scrivere che la corrente è uguale alla tensione in ingresso Vi divisa per l’impedenza totale del circuito . Trattandosi di due impedenze in serie, l’impedenza totale sarà:

Z = Z1 + Z2

In definitiva la corrente sarà:

I = Vi / Z = Vi /(Z1+Z2)

Sostituendo alle due impedenze le rispettive espressioni (quelle scritte sopra) avremo:

I = Vi /(R + 1/sC)

dove R più “1/sC” è l'impedenza del circuito nel domino di Laplace. Sostituiamo al posto della corrente l’espressione appena ricavata si ha:

Vo = I / sC = Vi /[sc(R+1/sC)]

Effettuando il prodotto al denominatore si ottiene l'espressione della tensione di uscita del circuito:

Vo = Vi / (sRC + 1)

Come già detto, la funzione di trasferimento “G(s)” è semplicemente il rapporto, nel domino di Laplace, di Vo e Vi. Se nelle espressioni di sopra si divide primo e secondo membro per Vi, al primo membro si ottiene proprio la funzione di trasferimento:

Vo / Vi = 1  / (sRC+1)

G(s) = 1 / (sRC+1)